• Jesid A. Díaz

Meditaciones heterodoxas sobre los Objetos Abstractos

Actualizado: 10 abr 2021

Hace poco sucedió el aclamado debate entre William Lane Craig y Graham Oppy sobre si la aplicabilidad de las matemáticas nos indican algo sobre la existencia de Dios. El debate fue, en mi opinión y hasta donde pude ver, parejo. Si bien debo confesar que no lo he terminado, también debería decir que he estado pensando un poco heterodoxamente sobre los Objetos Abstractos. Permítame ilustrar.


¿Todos los objetos abstractos son necesarios? Algunos filósofos (probablemente la minoría) piensan que no. Consideren, por ejemplo, un conjunto cuyo único miembro es una entidad contingente. Digamos, {Torre Eiffel}. Como conjunto, {Torre Eiffel} es un objeto abstracto. Ahora, la identidad de cualquier conjunto depende únicamente de su miembro: si algún miembro de un conjunto dado no existiera, entonces el conjunto en sí habría fallado. Si la Torre Eiffel existe solo de manera contingente, entonces el conjunto no vacío {Torre Eiffel} es contingente. Si ese es el caso, hay objetos abstractos no necesarios. O al menos parece ser el caso.


Por otro lado, la mayoría de filósofos parecen concordar en que los Objetos Abstractos son causalmente inertes. De nuevo, algunos filósofos no estarían de acuerdo. Charles Taliaferro, por ejemplo, discutiría la afirmación de que los Objetos Abstractos (OA) no juegan un papel explicativo. De hecho, tal vez diría que los OA tienen papel causal al explicar nuestra intencionalidad. Cuando piensa en 1 + 1, la razón por la que razona que 1 + 1 = 2 es que comprende las relaciones necesarias entre los números, que son objetos abstractos. Además, me inclino a pensar que aún es posible que Dios no exista y la afirmación "3+1=4" siga siendo necesariamente cierta. Pero, en mi opinión, la existencia de Dios enriquece significativamente nuestro lenguaje matemático que de otra manera sería ontológicamente comprometido. Ahora, cuando hablo de que es posible que Dios no exista y aún la afirmación "3 + 1 = 4" siga siendo cierta me refiero a una mera posibilidad epistémica, o tal vez lógica estricta. Dado el anselmismo que me inclino a favorecer, la no-existencia de Dios parece metafísicamente absurda.


Hasta ahora he señalado que algunos filósofos estarían dispuestos a afirmar que los OA no son causalmente inertes en un sentido absoluto, y que tal vez no todos lo OA sean necesarios. A continuación, permítame ofrecer mis pensamientos sobre un diálogo ficticio entre nominalista y un realista matemático. A modo de revisión, en el diálogo Fulano y Mengano (los protagonistas) mencionan algunos argumentos usuales en el debate de los Objetos Abstractos como el argumento de accesibilidad epistémica y el argumento de indispensabilidad. Mientras la conversación se desarrollaba, tanto Fulano como Mengano solían encontrarse arrinconados alternativamente. Fue un diálogo estimulante. Mucho habría por decir sobre el argumento de indispensabilidad basado en el compromiso ontológico quineano que desenvaina Mengano, al igual que cosas que yo no diría como nominalista matemático y que Fulano sí dijo (tal vez porque el nominalismo representad es el ficcionalismo, una visión que encuentro particularmente poco atractiva). Observe el siguiente fragmento del diálogo:


Mengano: Pero si los objetos matemáticos son ficciones y los enunciados matemáticos son “literalmente” falsos ¿cómo podemos explicar el éxito de la matemática aplicada? Muchas teorías matemáticas nos ayudan a construir puentes y a poner satélites artificiales en órbita. Esto es un hecho empírico innegable. Ahora bien, esas teorías matemáticas que son tan útiles incluyen enunciados existenciales que se refieren a entidades abstractas. Por ejemplo, el enunciado “∃x(x > 100)” es un teorema de la aritmética que afirma la existencia de ciertos números. Tenemos que aceptar la existencia de entidades como números para que enunciados como ese sean verdaderos. Si no existen las entidades abstractas entonces muchísimos enunciados matemáticos resultarán ser falsos. ¿Pero entonces por qué son tan exitosas? Me parece muy difícil explicar la aplicabilidad de las matemáticas si asumimos que los objetos matemáticos no existen y que las matemáticas son un puñado de falsedades.

Fulano: ¿Y crees que sería más fácil explicar la aplicabilidad de las matemáticas asumiendo la existencia real de los objetos abstractos? A mi modo de ver eso lo haría todo más complicado. ¿Cómo podría explicar algo la existencia de objetos causalmente inertes? La única opción sería postular algún tipo de interacción misteriosa entre los objetos matemáticos y los objetos concretos (como los puentes de tu ejemplo); pero no tenemos ni idea de cómo podría funcionar semejante interacción. Además, tu argumento de indispensabilidad no resuelve el problema epistemológico que planteé antes. Si el conocimiento matemático versa sobre entidades abstractas ¿cómo es posible tal conocimiento? Tú me reprochas que convierto las matemáticas en un puñado de falsedades, pero tú las haces inaccesibles a nuestro conocimiento. No sé qué es peor.
Mengano: Para el carro. Yo no he dicho que sea fácil explicar la aplicabilidad de las matemáticas asumiendo la existencia real de las entidades abstractas. Digo que es indispensable asumir la existencia de tales entidades para poder entender la aplicabilidad de las matemáticas. Y el argumento es muy simple. Primera premisa: la mejor explicación de que un cuerpo de teorías sea sumamente exitoso es que esas teorías sean verdaderas. Segunda premisa: las teorías matemáticas son sumamente exitosas en sus aplicaciones. Conclusión intermedia: las teorías matemáticas son verdaderas. Tercera premisa: las teorías matemáticas incluyen enunciados que afirman la existencia de entidades matemáticas (e. g. enunciados con cuantificadores existenciales). Conclusión final: existen las entidades matemáticas postuladas por esas teorías. Así que existen las entidades abstractas.

Déjeme ofrecer dos pensamientos. En primer lugar, tal vez Fulano podría tener una mejor respuesta si sugiriera que las matemáticas son aplicables al mundo físico porque un Ser Perfecto ha decidido crear el mundo con un plano abstracto que "tenía en mente" (esta expresión debería tomarse metafórica). Craig afirma que este era el punto de vista de Filón de Alejandría. Si bien este punto de vista puede no ser persuasivo para un realista comprometido, al menos parece evidente que el teísta tiene cierta ventaja explicativa por encima de las teorías antirealistas y realistas estándar.


En segundo lugar, sería preciso tocar la predicación de "verdad". ¿Qué significa decir, por ejemplo, que las teorías matemáticas son "verdaderas"? Bueno, aquí el nominalista (y es lo que hubiera deseado que abordara Fulano) puede ofrecer un relato deflacionario de verdad tal que el predicado de verdad "es verdadero" se vea como un simple dispositivo de ascenso semántico y afirmar que la afirmación que se dice es verdadera. Paralelamente, se puede descender semánticamente, que nos permita hablar de una afirmación en lugar de firmar la afirmación misma. Este dispositivo semántico es importante porque el predicado de verdad tiene el propósito de adscripciones a verdades ciegas. Por ejemplo, en algunos casos nos encontramos incapaces de afirmar algunas afirmaciones que se dicen que son verdaderas debido a su numerosidad. La declaración de "todo lo que se dice en los documentos es cierto" parece una verdad a ciegas, igual que "todo teorema de la aritmética de Peano es verdadera". Entonces, se hace necesario un dispositivo semántico deflacionario. Esta ha sido, de hecho, una de las sugerencias del propio William Craig, aunque él no es estrictamente un teórico de la verdad deflacionista. Además, un nominalista puede aceptar el realismo alético (del valor de verdad) sobre verdades básicas de la aritmética sin comprometerse con el realismo ontológico. Siendo honesto, creo que Fulano podría haber sacado amplia ventaja a Mengano si hubiese mencionado estos dos aspectos. De hecho, vea este extracto de la conversación (de nuevo):


Mengano: Vale, no. Tal vez mi último recurso es un argumento que sugirió Frege[7]: los objetos espaciotemporales son mutables, pero los objetos a los que se refieren las verdades matemáticas deben ser inmutables, ya que las verdades matemáticas son eternas. Así que los objetos matemáticos no son espaciotemporales.

Fulano: Si me permitís, abro un paréntesis en vuestra discusión. Confieso que yo no sabría cómo refutar el argumento que acaba de emplear Mengano, pero quisiera llamar la atención sobre la cantidad de cosas que ha asumido. Ha asumido que no hay objetos espaciotemporales inmutables, ha asumido que una verdad eterna solo puede hablar sobre objetos inmutables, y ha asumido que las verdades matemáticas son eternas. ¡Notables asunciones para alguien que no quería apoyarse en la metafísica! Esas asunciones son tan metafísicas como mi asunción de que el conocimiento depende de relaciones causales con el entorno. De modo que la posición realista de Mengano no es filosóficamente tan neutral, al fin y al cabo. [cursivas añadidas]

¡Pero Fulano pudo haber hecho retroceder a Mengano si hubiese aclarado algunos de los puntos que mencioné antes! Al Mengano hablar de las verdades matemáticas parece haber abierto por segunda vez la puerta para ofrecerle un relato deflacionario de verdad, donde realmente el predicado de verdad de las declaraciones matemáticas no están ontológicamente comprometidas, aunque lo estén aléticamente.



Con esperanza,

J.

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